FACULDADE IRECÊ BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
CÔNICAS E QUÁDRICAS : APLICAÇÕES NA ENGENHARIA CIVIL
Resumo
Ao iniciar um curso de engenharia, é comum que uma das primeiras disciplinas seja Geometria Analítica, onde ocorre o primeiro contato com as cônicas. Essas figuras geométricas têm grande importância, não apenas na engenharia civil, mas também em outras áreas, como engenharia elétrica e mecânica. As cônicas, ou secções cônicas, resultam da interseção de um plano com um cone duplo e estão presentes em diversos aspectos do nosso cotidiano.
Essas curvas, que na antiguidade eram pouco exploradas, ganharam destaque ao longo do tempo com o avanço de áreas como física, arquitetura e computação. Hoje, seu estudo impulsiona aplicações em diversas áreas, como o desenvolvimento da indústria automobilística, telecomunicações, cálculos estruturais e até projetos de exploração espacial.
Palavras-chave: Cônicas, Engenharia Civil; Geometria.
Introdução
As secções cônicas, nada mais são, do que simples variações da intersecção de um plano e um cone dupla folha e tem seus estudos graças a Geometria Analítica, disciplina esta compartilhada por diversos cursos das áreas exatas, na engenharia civil não poderia ser diferente. Sendo esta uma das cadeiras iniciais. Ao iniciar uma graduação é muito comum cometer muitos erros decorrentes do ensino médio, dentre eles não observar a tamanha importância de uma disciplina em sua formação e posteriormente no seu ambiente de trabalho e em seus projetos. Buscando realizar um contraste, o seguinte trabalho mostrará não somente feitos atuais, mas também criações elaboradas por nossos antecessores. Infelizmente esses não tinham a capacidade tecnológica existente hoje, tão pouco estudos recentes sobre essas curvas. Mesmo assim realizaram construções impressionantes. São diversas as aplicações das cônicas, não se restringindo a construção civil.
Desenvolvimento
- Parábola
A parábola é estabelecida como local geométrico dos pontos em um eixo XY, onde as distâncias a um ponto fixado e uma reta fixa são equidistantes. Contendo mais detalhes e aplicando artifícios matemáticos aplicados em casos da Geometria Analítica, assim podemos certificar os requisitos para obtenção da Impactos das Tecnologias na Engenharia Civil 2 Capítulo 18 203 parábola pelo aproveitamento do eixo XY de coordenadas cartesianas. Um eixo d verticalmente e pontos F e V, como na imagem a seguir:
A parábola é construída pela junção de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F e da reta d. Assim os pontos que possuem essas características formam a parábola. Expressão matemática para tais verifi cações: Temos que:
V: Vértice
F: Foco
c: Coeficiente no qual mostra a lonjura do foco ao vértice, que define a concavidade da parábola.
Desta forma podemos apresentar 4 situações como mostra a fi gura a seguir:
- Elipse
A curva gerada quando um plano corta todas as geratrizes de um cone é chamada de elipse, neste caso, o plano não é paralelo a geratriz.
Desta forma, a elipse é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja a soma das distâncias (d1 + d2) a dois pontos fixos do plano, chamados de foco (F1 e F2), é um valor constante.
A soma das distâncias d1 e d2 é indicada por 2a, ou seja 2a = d1 + d2 e a distância entre os focos é chamada de 2c, sendo que 2a > 2c.
A maior distância entre dois pontos pertencentes à elipse é chamada de eixo maior e seu valor é igual a 2a. Já a menor distância é chamada de eixo menor e é indicada por 2b.
O número
e = c/a
é chamado de excentricidade e indica o quanto a elipse é "achatada".
Temos ainda a seguinte relação:
a2 = b2 + c2
Sendo
a: medida do semi-eixo maior
b: medida do semi-eixo menor
c: metade da distância focal
- Hipérbole
Hipérbole é o nome da curva que surge quando um cone duplo é interceptado por um plano paralelo ao seu eixo.
Assim, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos no plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos do plano (foco) é um valor constante.
A diferença das distâncias d1 e d2 é indicada por 2a, ou seja 2a = | d1 - d2 |, e a distância entre os focos é dada por 2c, sendo que 2a < 2c.
Representando a hipérbole no eixo cartesiano, temos os pontos A1 e A2 que são os vértices da hipérbole. A reta que liga esses dois pontos é chamada de eixo real.
Temos ainda indicado os pontos B1 e B2 que pertencem a mediatriz da reta e que liga os vértices da hipérbole. A reta que liga esses pontos é chamada de eixo imaginário.
A distância do ponto B1 à origem do eixo cartesiano é indicada, na figura, por b e é tal que b2 = c2 - a2 .
Equação reduzida
A equação reduzida da hipérbole com os focos localizados no eixo Ox e o centro na origem é dada por:
Aplicação à engenharia
Basta ter um entendimento básico sobre as cônicas para começar a percebê-las com frequência no cotidiano. Retornando à engenharia civil, ao caminhar pelas ruas de uma cidade, é possível observar (em algumas) pontes pênseis, túneis com seção transversal em forma de parábola, passarelas e edificações que lembram hipérboles, entre inúmeras outras obras que poderiam ser mencionadas.
1. Projetos de Arcos e Pontes
Os arcos parabólicos são comuns em projetos de pontes e viadutos devido à sua capacidade de distribuir uniformemente as cargas verticais. A geometria parabólica é vantajosa, pois as forças de compressão são transmitidas diretamente ao solo de forma eficiente. A estrutura de uma ponte pode ser projetada para ter um arco parabólico que otimiza o uso de material enquanto oferece estabilidade.
Além disso, os arcos elípticos também são usados em algumas construções de pontes, especialmente em projetos de pontes de pedestres e passarelas, pois ajudam na estética e na distribuição de forças.
2. Estruturas de Suporte e Torres
A engenharia civil utiliza as propriedades do hiperbolóide de uma folha em torres e outras estruturas de suporte. Esse tipo de estrutura oferece uma ótima resistência com o mínimo uso de material, sendo muito utilizado em torres de transmissão e antenas, além de ser um modelo de eficiência estrutural. Sua forma permite que as forças sejam distribuídas de maneira eficiente ao longo de toda a estrutura.
3. Construção de Edifícios e Cúpulas
As cúpulas de edifícios frequentemente utilizam formas de quádricas, como paraboloides e elipsoides. O uso dessas formas permite distribuir as forças de compressão de maneira eficiente e uniforme, o que ajuda a criar edifícios estáveis e resistentes. Cúpulas parabólicas são comuns em auditórios, estádios e grandes centros de convenções, onde a acústica também é uma preocupação importante.
4. Otimização de Formas e Eficiência Material
Na engenharia civil, é essencial otimizar a distribuição de material para reduzir custos e aumentar a eficiência estrutural. O uso de formas geométricas como as cônicas e quádricas permite projetar estruturas que não apenas são esteticamente agradáveis, mas também oferecem resistência máxima com o mínimo uso de material. Um exemplo claro disso é o design de reservatórios de água em forma de elipsoides, que ajudam a distribuir a pressão de forma uniforme.
5. Análise de Tensão e Deformação
As cônicas e quádricas são usadas em modelos de análise estrutural para calcular a distribuição de tensões em materiais. A análise das superfícies elípticas ou parabólicas pode ajudar os engenheiros a prever como as forças externas, como vento e peso, afetam uma estrutura, e como essas forças se distribuem ao longo de superfícies curvas.
A parábola é muito utilizada na engenharia civil por suas propriedades resistivas a grandes cargas. Com elas são possíveis vãos cada vez maiores, sendo sustentados apenas por cabo realizando uma destruição de forças uniformes.
A hiperbole, por sua vez, também é muito utilizado em diversas construções e monumentos. como exemplo, o escritório White Arkitekter venceu um concurso de arquitetura para uma torre de observação de 12 metros de altura em Varberg, na Suécia.
O concurso pedia uma estrutura icônica com uma plataforma de observação que oferecesse um ambiente "estimulante e experimental". O projeto vencedor é construído inteiramente de madeira, com 140 barras formando uma estrutura tramada de geometria hiperbólica.
conclusão
Ao longo do tempo, essas notáveis curvas planas desempenharam um papel fundamental no avanço da ciência em diversas áreas. Suas características foram aplicadas em inúmeros projetos, abrangendo diferentes campos do conhecimento. Na engenharia, suas propriedades físicas foram essenciais para a solução de grandes e importantes obras estruturais, enquanto sua estética contribuiu para a criação de monumentos e impressionantes estruturas arquitetônicas.
O estudo dessas curvas é vasto e abrangente. Suas propriedades reflexivas, embora não abordadas neste trabalho, são amplamente utilizadas em setores como a indústria automobilística, telecomunicações e em projetos de pesquisa e exploração espacial.
Na engenharia, as aplicações das propriedades das curvas cônicas continuam a se expandir. Novos projetos e pesquisas são desenvolvidos constantemente, indicando que o conhecimento sobre essas fascinantes formas geométricas está em contínuo crescimento e evolução.
Referências
. Citação direta : diferença entre citação curta e citação longa nas normas da ABNT . Blog Mettzer . Florianópolis , 2021 . Disponível em: https://blog.mettzer.com/citacao-direta-curta-longa/ . Acesso em: 10 mai. 2021 .
. Cadernos metodológicos : diretrizes da metodologia científica . 5 ed . Chapecó : Argos , 2001 . 123 p .
. Projeto de Pesquisa : o que é, como fazer, metodologia e formatação . Blog Mettzer . Florianópolis , 2018 . Disponível em: https://blog.mettzer.com/projeto-de-pesquisa/ . Acesso em: 3 dez. 2024 .
