DERIVADAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

DERIVADAS

RAILSON SILVA RIBEIRO

Introdução

 A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado.  Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P.  Arquimedes (287–212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e  Apolônio (cerca de 262–190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384–322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295–1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564–1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indispensável para  estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem… O livro está escrito em linguagem matemática …” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601–1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez.  Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma  y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

René Descartes (1596–1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria,  escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615–1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601–1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princípios  e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622–1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602–1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642–1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo “New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them” (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.

Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888–1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.

O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines(Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661–1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli (1667–1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710–1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685–1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as “quantidades infinitamente pequenas” e os “incrementos imperceptíveis” dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698–1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718–1799) seguiu Leibniz e L’Hospital no seu livro de cálculo Analytical Institutions(Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707–1783) deu um passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de “expressão analítica”; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial,1755), Euler definiu a derivada como “o método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções”, que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d’Alembert (1717–1783) afirmou que a “definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial” é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.

No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas,1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d’Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789–1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l’Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) – f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) – f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo. 

TAXA DE VARIAÇÃO

 A Taxa de variação é uma razão relacionada a uma reta que compara a variação vertical com a horizontal. Comumente simbolizada por m ou a. Existem várias maneiras de se pensar na taxa de variação; a aproximação geralmente depende da situação. Para compreender melhor, considere algumas versões demonstradas a seguir para indicar a taxa de variação.

A derivada, no cálculo, em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y com relação a x neste mesmo ponto. A função da velocidade, por exemplo, é uma derivada pois apresenta a taxa de variação – derivada – da função velocidade.

 Qualquer outra forma curva em que tentemos aplicar esse conceito faz com que a ideia perca o sentido, pois as duas coisas somente acontecem em uma circunferência. Mas o que isso tem a ver com a derivada? 

A derivada

A derivada no ponto x=a de y=f(x) representa uma inclinação da reta tangente ao gráfico desta função em um determinado ponto, representado por (a, f(a)).

Quando vamos estudar derivadas, precisamos lembrar dos limites, estudados anteriormente na matemática. Tendo isso em mente, chegamos a definição da derivada:

Lim f(x + Δx) – f(x)

Δx >> 0 Δx

2.1
 Velocidade Média e Instantânea 

Vamos iniciar com uma situação prática que servirá como modelo para uma discussão mais geral.

Imagine um carro se movendo numa estrada reta, sendo S(t) sua distância após t horas do ponto de partida. Suponha que você deseje determinar a velocidade do carro num certo tempo t, mas não possui acesso ao velocímetro do carro. Eis o que você pode fazer.

Você precisa conhecer, primeiro, a posição do carro no tempo t e, depois, no tempo t + t, isto é, determinar S(t) e S(t + t).

Calcule, então, a velocidade média do carro entre t e t + t como se segue.

Velocidade média = Variação da Distancia/ Variação do Tempo

Como a velocidade do carro varia durante o intervalo de tempo t e t + t, a velocidade não será igual à velocidade instantânea (a velocidade mostrada no velocímetro) no tempo t. Entretanto, quando t é pequeno, é pequena a possibilidade de variações drásticas de velocidade. Então, a velocidade instantânea será uma boa aproximação da velocidade média.

Pode-se calcular a velocidade instantânea no tempo t fazendo t tender a zero na expressão da velocidade média.

Note que a expressão da velocidade média é exatamente a razão incremental encontrada na definição de derivada. Quando t tende a zero, este quociente tende ao valor da derivada de S. Segue-se que a velocidade instantânea no tempo t é justamente a derivada S’(t) da função-distância.

Definição: A velocidade instantânea de um objeto móvel é a derivada S’(t) de sua

função-distância, isto é,

Velocidade = derivada da distância

Exemplo Encontre a velocidade média nos instantes t = 1 e t = 2 de um objeto em queda livre cuja função posição é dada por S(t) = – 4,9t2 + 30, onde S está em metros e t em segundos.

Solução Derivando, temos que a função velocidade é v(t) = S‘(t) = – 9,8t.

Portanto, a velocidade em t = 1 é v(1) = – 9,8m/s e a velocidade em t = 2 é v(2) = 19,6m/s.

Definição: Se S é a função posição de um objeto se movendo em linha reta, então a aceleração do objeto no instante t é dada por

Aceleração =
d²y/dx²

ou ainda

a(t) = v’(t),

onde v(t) é a velocidade no instante t.

2.2 Taxa de Variação Média e Instantânea

Estas idéias podem ser usadas em situações mais gerais. Imagine y sendo uma função de x, ou seja, y = f(x). Para uma variação de x a x + x, a variação de y correspondente será de y = f(x + x) – f(x).

Assim, a razão incremental:

 Variação de y/ variação de x= f(x + x) – f(x)/x

representa a taxa de variação média de y em relação a x.

 À medida que o intervalo de variação torna-se menor (isto é, quando x tende a zero), a taxa média de variação tende ao que você intuitivamente poderia chamar de taxa de variação instantânea de y em relação a x, e a razão incremental tende à derivada .

 Logo, a taxa de variação instantânea de y em relação a x é justamente a derivada .

Definição: Sendo y = f(x), a taxa de variação instantânea de y em relação a x é dada pela derivada f, isto é,

Taxa de variação =
dy/dx

Exemplo Se um objeto cai de uma altura de 30m, sua altura S no instante t é dada pela função posição S(t) = – 4,9t2 + 30, onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a taxa de variação média da altura nos intervalos:

(a) [1,2] (b) [1;1,5]

Solução

(a) Para o intervalo [1,2] temos:

t = 1  S(1) = – 4,9(1)2 + 30 = – 4,9 + 30 = 25,1

t = 2  S(2) = – 4,9(2)2 + 30 = – 19,6 + 30 = 10,4

O objeto cai de uma altura de 25,1m para 10,4m, logo, a taxa de variação média é

 S/   T=10,4 -25,1/2-1=-14,7m/s

(b) Para o intervalo [1;1,5] temos:

t = 1  S(1) = – 4,9(1)2 + 30 = – 4,9 + 30 = 25,1

t = 1,5  S(1,5) = – 4,9(1,5)2 + 30 = – 11,025 + 30 19

A taxa de variação média é

S/ T= 19-25,1/1,5-1=-12,2m/s

OBS: Note que as velocidades médias no Exemplo anterior são negativas, indicando que o objeto está se movimentando para baixo.

Exemplo: Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de P(x) = x2 + 20x + 8000.

(a) Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?

(b) Qual será a variação real sofrida durante o 16º mês?

Solução

(a) A taxa de variação da população é a derivada da função-população, ou seja,

Taxa de variação = P’(x) = 2x + 20.

Como

                                       P’(15) = 2.15 + 20 = 30 + 20 = 50,

conclui-se que, daqui 15 meses, a população crescerá de 50 habitantes por mês.

(b) A variação real sofrida durante o 16º mês será a diferença entre a população ao final dos 16 meses e a população ao final dos 15 meses, isto é,

          Variação da população =
P(16)-P(15)/16-15

                                                          = [(16)2 + 20.16 + 8000] – [(15)2 + 20.15 + 8000]

                                                          = 51 habitantes.

PROBLEMAS ENVOLVENDO TAXA DE VARIAÇÃO

O cálculo diferencial é largamente utilizado na física, mas iniciaremos aqui com
exemplos mais básicos de aplicações. 

Imagine uma partícula cuja função deslocamento é expressa por 𝐹(𝑡) = 1,6t³+3,2𝑡 − 1,8, onde t é o tempo medido em segundos e a distância em metros. Bom, primeiro precisamos de uma informação. A derivada 𝑓′ (𝑎) é a taxa de variação instantânea de 𝑦 = 𝑓(𝑥), em relação a 𝑥, quando 𝑥 = 𝑎.
Sabendo disso, podemos então encontrar a taxa de variação da função 𝐹(𝑡), onde a mesma representará a velocidade da partícula. Ou seja, a taxa de variação do deslocamento, será a velocidade da partícula naquele instante. Então se derivarmos a função deslocamento, encontraremos a função velocidade. Observe 

𝐹(𝑡) = 1,6t³ + 3,2𝑡 − 1,8 

𝐹
`(𝑡) = 3(1,6𝑡²) + 3,2 − 0 

𝐹
′ (𝑡) = 4,8t² + 3,2 

Com a função 𝐹′(𝑡), podemos agora determinar a velocidade da partícula em
qualquer instante 𝑡.
Seguindo com taxa de variação, se derivarmos a função velocidade, encontraremos função aceleração da partícula. Ou seja, a taxa de variação da velocidade é a aceleração. Então continuando com este mesmo exemplo, se quisermos encontrar a aceleração da partícula num instante, devemos, primeiro, encontrar a derivada da função velocidade.  

𝐹
′ (𝑡) = 4,8t² + 3,2 

𝐹
′′(𝑡) = 2(4,8𝑡) + 0 

𝐹
′′(𝑡) = 9,6t

O estudo do crescimento de bactérias pode ser uma tarefa árdua, já que uma única
bactéria se dividi formando uma nova bactéria, que se divide formando uma outra e por aí vai. Ou seja, é um crescimento exponencial. Porém, esse crescimento vai depender do tempo que uma bactéria vai demorar para se dividir e criar uma nova. Podemos perceber que conforme a quantidade de bactérias aumenta, a sua velocidade em se duplicar também, por exemplo, se a quantidade de bactérias
triplicar, a velocidade de crescimento triplicará também. Seja 𝑄(𝑥) a função que determina a quantidade de bactérias em função do tempo. A taxa de variação de crescimento será, então 

𝑑𝑄
/𝑑𝑡 = 𝑘q

Onde o 𝑘 será o quanto cada bactéria contribui para o crescimento da população.

Aplicando algumas regras de derivação e integração chegaremos na função

𝑄(𝑡) = 𝑄0.𝑒kt

Vamos supor que uma determinada bactéria se duplique a cada uma hora, num determinado ambiente. Se a população inicial for de 10 bactérias, e o tempo 𝑡 for medido em horas, então a quantidade de bactérias em qualquer instante 𝑡 será

expressa pela equação

𝑄(𝑡) = 10𝑒kt

Seguindo esse exemplo, suponhamos que após 1 hora, o número de bactérias passou a ser 20. Ou seja, 𝑄(1) = 20. Substituindo esses valores na equação 𝑄(𝑡), teremos

10𝑒k = 20 ⇾ 𝑒k = 2 ⇾ 𝑘 = ln 2 ⇾ 𝑘 ≅ 0,693

Ao encontrarmos o valor da contribuição de crescimento, podemos então encontrara taxa de crescimento das bactérias em qualquer instante 𝑡, vamos encontrar para𝑡 = 8. Teremos então

𝑄(8) = 10𝑒0,693.8 → 10𝑒5,544

 𝑄(8) ≅ 2556,98

Todos os anos dezenas de foguetes são lançados na atmosfera, é um mercado que
movimenta cerca de 25 bilhões de dólares por ano, um custo altíssimo, mas que vale a pena devido as descobertas encontradas a cada dia. Mas o fato é que, com um investimento tão grande, não é de se estranhar que os foguetes lançados sejam monitorados a todo instante, e cada detalhe seja minuciosamente analisado. Todos os países que trabalham com o lançamento de foguetes tem seus modelos e tecnologias, até mesmo o Brasil. Porém, independente do modelo, o foguete, após ser lançado, tem sua massa variando constantemente, e isso se deve a queima do combustível do mesmo. Ou seja, quanto maior a queima de combustível, menor será a massa do Foguete. Temos então uma variação da massa em relação ao tempo. Ao chamarmos a massa de 𝑚, e o tempo de 𝑡, temos que a taxa de variação da massa do foguete será expressa por 

𝑅 =
𝑑𝑚/𝑑𝑡 

Onde 𝑅 é a taxa de variação da massa do foguete. Sendo 𝑚0 a massa inicial do
foguete, então no instante 𝑡 a massa será definida por 

𝑚(𝑡) = 𝑚0 − 𝑅𝑡

A massa do foguete irá interferir na velocidade do foguete num instante 𝑡.
Essa mesma situação pode ser notada também em carros de fórmula 1, aviação, entre outros.

DERIVAÇÃO DE FUNÇÃO DADA IMPLICITAMENTE

No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções onde y não está definido como função explícita de x, por exemplo:   y^{2}+x^{2}=1   y^{2}+x^{2}=1. Equações onde não temos de um modo explicito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever  y=f(x)} y=f(x)

Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação

    xy = 1

Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como
y=1/x

 
da qual tem-se que
dy/dx=-1//x²

Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada. Podemos diferenciar ambos os lados de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos  

d/dx xy=d/dx 1

xd/dx y+yd/dx x=0

xdy/dx +y=0

dy/dx=-y/x

 
Se agora substituirmos na última expressão, obtemos  y=1/x

dy/dx=-1/x²que está de acordo com . Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita.

Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por F(x,y)=0 de uma forma implícita, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas.

Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por: 

F(x,y) = x³ + y³ – 3axy = 0 (a>0)

Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima).

Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva:

x³ + y³ – 3axy = 0

Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:

3 x² + 3 y²(x) y'(x) – 3a [x y'(x) + y(x)] = 0

Simplificando, obtemos

 (x +2y) y’ = -(y+2x) 

Desta relação, temos a derivada:

Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y ‘(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema: 

 y + 2x = 0

x²+xy+y² =3

Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2).

Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão

(x +2y) y’ = -(y+2x)

Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:

y”(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y’) = -y'(x)-2

Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:

O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois 

y”(-1) = – 2/3 < 0

O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois

y”(1) = 2/3 > 0

Regra geral com derivada implícita

Seja uma função definida implicitamente por F(x,y)=0. Como nem sempre é possível explicitar y=y(x) tal que

F(x,y(x))=0

utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função para obter:

Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x)) . y'(x) = 0

Esta última relação pode ser simplificada na forma:

Fx + Fy . y’ = 0

donde segue que

Usando a relação Fx+Fy.y’=0, podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter: 

Fxx+Fxy.y’+Fy.y”+Fy.(y’)²=0

Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, então:

Fxx(P)+Fy(P).y”(xo)=0

e assim temos que

Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0.

Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0.

Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.

A maioria das funções encontradas até agora eram dadas explicitamente, o que significa que os seus valores f(x) eram calculáveis facilmente. Por exemplo, se
então f(x) pode ser calculado para qualquer valor de x: f(0) = 02 – 0 = 0, f(2) = 22 – 2 = 2, etc. Além disso, f(x) pode ser derivada aplicando simplesmente as regras de derivação: 

 

Conclusão

O Cálculo Diferencial tem por objetivo tratar da mudança ou do movimento, o que encontramos com frequência em nosso cotidiano, isto é, em todas as áreas do conhecimento. Todo engenheiro precisa muito da ideia de derivadas, pois representam um isso por aquilo: quilômetros por hora, metros por segundo, metros por segundo ao quadrado, calorias por semana. Como derivadas representam a velocidade com que alguma coisa muda em função das mudanças de outras coisas, elas passam a ser de grande utilidade.

Se você dirige, topa sempre com uma derivada ao olhar o velocímetro do carro. A distância total percorrida, dividida pelo tempo para percorrer tal distância, dá a velocidade média do carro durante a viagem. O motorista conhece a velocidade instantânea quando olha o velocímetro, e vê a taxa com que o carro está percorrendo, a cada instante infinitésimo da viagem, certa quantidade de quilômetros a cada hora.

Um filme cinematográfico é uma série de figuras (estáticas), onde é comum cada uma delas ser quase imperceptivelmente distintas das vizinhas; cada um desses fotogramas mostra o que foi filmado em dadas posições num determinado instante de tempo. Quando o filme é rodado a uma velocidade adequada, num projetor, as figuras superpõem-se e é criada a ilusão do movimento, tendo aí a presença da derivada. Enfim, o Cálculo Diferencial tem sido usado por engenheiros, físicos, astrônomos, químicos, biólogos, economistas e por profissionais de outras áreas do conhecimento.

Uma colisão de carro pode ocorrer a qualquer momento e em qualquer lugar. O evento é sempre desagradável e pode acarretar desde transtornos financeiros até a perda de entes queridos.

No caso de um acidente, como saber quem foi o culpado, isto é, quem estava dirigindo a uma velocidade acima do permitido? Embora possa parecer uma tarefa difícil, os peritos criminais descobrem essa importante informação com base na soma de vetores, que é obtida através da análise das marcas do impacto na lataria e do deslocamento dos veículos no momento da colisão. Apesar de todos os modernos computadores utilizados para fazer isso, o princípio básico é o mesmo que você viu aqui.

A vida marinha de um oceano ou praia pode ficar seriamente ameaçada quando um navio petrolífero sofre um acidente e começa a despejar óleo no mar. Os técnicos precisam agir rápido para conter o derramemento de óleo e preservar a fauna. Uma grande aliada deles são as derivadas que, entre outras aplicações, também servem para indicar a taxa de crescimento de uma determinada grandeza em relação a outra.

Assim, com base nas derivadas, cientistas podem prever como e quanto a mancha de óleo está crescendo a cada instante e onde ela estará em determinado momento, podendo tomar decisões estratégicas para minimizar o desastre.

Na verdade, mesmo que você ainda não esteja no curso superior, é muito provável que você já tenha utilizado derivadas para fazer diversos cálculos. Simplificadamente, tudo que envolve uma taxa de variação pode ser entendido como uma derivada. Assim, a famosa fórmula da velocidade escalar média da Física = v = d/t pode ser entendida como a derivada da distância em relação ao tempo – e é exatamente isso que a derivada mede nesse caso: o quanto o deslocamento varia em relação ao tempo.

É provável que você já conheça os chamados mapas físicos, que mostram o relevo de um determinado local. Então, você não deveria ter dificuldade em compreender as curvas de nível e mapas de contorno, que possuem o mesmo propósito.

Uma curva de nível nada mais é do que a projeção, no plano xy, da intersecção de um plano z = k e o gráfico de uma superfície. Isso permite que uma função de três variáveis possa ser representada em um ambiente bidimensional. Assim, o matemático pode descobrir como a função se comporta sem analisar o seu gráfico diretamente.

O mesmo ocorre com os mapas de relevo. Nesses mapas, em geral, quanto mais avermelhada for uma região, mais alta ela é, ao passo que as planícies e depressões são representadas pelos tons de verde. Isso é um mapa de contornos colorido. Ao observá-lo, eu posso descobrir se determinada região é mais alta do que outra sem a necessidade de ir lá pessoalmente ou de observar uma foto real do local. Geógrafos também utilizam curvas de nível para analisar o relevo de montanhas.

Mais do que vetores obtidos a partir das derivadas parciais de uma função de duas ou de mais variáveis, os gradientes são vetores normais às curvas de nível que apontam na direção em que há a maior variação – e o valor dessa variação é o módulo do vetor gradiente.

Essa interessante propriedade faz do gradiente um importante aliado da Medicina. Se, por exemplo, um médico deseja aplicar um medicamento em um paciente para combater um tumor, ele poderia utilizar esses vetores para localizá-lo, pois os tumores são grandes fontes de calor e, através dos gradientes, o profissional poderia determinar, com precisão, sua localização e o melhor método a ser adotado.

O mesmo princípio também é utilizado em aplicações militares onde, através dos gradientes – e do calor -, pode ser determinado o local exato de um alvo e a melhor forma de atingí-lo.

Referências

. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/fforma_implicita/fforma_implicita.htm>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

______. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/rz_de_varinst/tx_var_inst.htm>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

______. Disponível em: <http://engenhariae.com.br/toda-a-matematica/taxa-de-variacao-instantanea-derivadas-aula-01-aula-gratis/>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

______. Disponível em: <http://matemabio.blogspot.com.br/p/taxas-de-variacao.html>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

______. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/taxarel/listaRelRat.html>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

______. Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf>. Acesso em: 29 Jun. 2017.

AgnesiMaria Gaetanacurva de Agnesi.

GuidorizziHamilton LuizUm Curso de Calculo. 5. ed. LTC, v. 1.

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